Correzione compito in classe

classe V, Gennaio 2005

  1. Determina a, b, c, d in modo che la curva di equazione
    abbia asintoto con pendenza 2 e nel punto A(0,1) abbia tangente con inclinazione π/4. 
    La condizione che abbia asintoto di pendenza m è che



 
Dunque



.
La condizione di passaggio per A(0,1)




Qui la pendenza della tangente al grafico è la derivata della funzione calcolata per x=0.




da cui



.
A questo punto è sufficiente risolvere il sistema




per esempio




da cui
  2. Un punto materiale si muove su una linea retta con legge oraria s = 2t3–15t2+36t, dove s è in metri e t in secondi. Trova:
    1. la velocità del punto nell’istante t=0;
    2. le posizioni in cui la velocità è nulla;
    3. l’istante in cui l’accelerazione è nulla. 
    La velocità è la derivata della funzione posizione nel tempo:

v = s' = 6t2–30t+36 

quindi v(0)=36m/s è la velocità iniziale.

Gli istanti nei quali si annulla la velocità si ricavano dall'equazione

6t2–30t+36 = 0

cioè 2s e 3s.

In tali istanti le posizioni sono 

s(2)=16-60+72=28m e s(3)=2*27–15*9+36*3=27m

L'accelerazione è la derivata della velocità nel tempo:

a = v' = 12t – 30

e quindi l'accelerazione si annulla per t=2.5s
  3. Considera la funzione
    Disegna il suo grafico e anche quello della funzione derivata. Determina con il metodo della secante una approssimazione dei punti del grafico della funzione dove l’ordinata coincide con la pendenza della curva. 
    In primo luogo l'espressione analitica della funzione può essere semplificata:

	y = -2·ln|x|

Il campo di esistenza è R-{0}. 
Il grafico lo si ottiene facilmente da quello di lnx, aggiungendo una copia per 
simmetria rispetto all'asse y per ottenere ln|x| e poi dilatando lungo l'asse y
di un fattore 2 per ottenere 2·ln|x|e infine facendo la simmetria rispetto all'asse x.
La funzione derivata di lnx è 1/x quindi

	y' = -2/x

il cui grafico è quello di un'iperbole equilatera con asintoti coincidenti con 
gli assi coordinati.

    Dai grafici risulta chiaro che vi è un solo 
punto nel quale  y = y'

    Per trovare con il metodo della secante una soluzione 
per l'equazione f(x) = 0  
con f continua su [a,b] e f(a)·f(b)<0
si calcola ogni approssimazione con la formula




applicata a ogni  analogo sottointervallo di 
approssimazione [x1,x2].
Ripetendo più volte le ultime due righe del
procedimento mostrato nella figura a sinistra
si ottiene il valore approssimato  1.763
  4. Un punto materiale si muove di moto armonico con semioscillazione di ampiezza 25cm e frequenza 0.5Hz. Scrivi una legge oraria del moto, la legge v-t e quella a-t. Indica in particolar modo in quali posizioni e in quali istanti si hanno massimo modulo di velocità e accelerazione. 
    s = A·cos(ω·t+φ) = 25 cos(2π·0.5·t)

semplificando

s = 25 cos(π·t)


è la legge oraria preso zero del sistema di riferimento il centro dell'oscillazione 
e come posizione iniziale  un estremo.
 
La velocità è la derivata della funzione posizione nel tempo:

v = s' = 25·(–sin(π·t) · π) = –25πsin(π·t).

L'accelerazione è la derivata della velocità nel tempo:

a = v' = –25π2cos(π·t)

La massima velocità, 25πcm/s in modulo, si ha quando

|sin(π·t)| = 1

cioè quando  π·t = π/2 + k·π
ovvero tk = (1/2 + k)s  con k numero intero (positivo perché abbia senso fisico)
e dunque in posizioni sk = 25 cos(π·tk) = 25 cos(π/2 +kπ) =0

La massima accelerazione, 25π2cm/s2 in modulo, si ha quando

|cos(π·t)| = 1

cioè quando  π·t = k·π
ovvero tk = ks  con k numero intero (positivo perché abbia senso fisico)
e dunque in posizioni sk = 25 cos(π·tk) = 25 cos(kπ) =±25cm
pagina di Roberto Ricci L.S. "A. Righi", Bologna. Ultima revisione